Revue de littérature

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Le ratio de couverture dans la littérature peut être obtenu de diverses façons: l’approche naïve, celle des moindres carrés ordinaires (M.C.O; Ederington, 1979; Figlewski, 1984) et l’approche d’hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive généralisée (GARCH) de Cecchetti et al. (1988), Baillie et Myers (1991), Kroner et Sultan (1991) ou plus récemment Brooks et al. (2002). La première de ces méthodes prône une couverture de 0% ou de 100% du portefeuille, tandis que la seconde déduit d’un modèle de minimisation de risque un ratio de couverture optimal compris entre zéro et l’unité. Plus récemment les stratégies de couvertures dynamiques basées sur les modèles de type GARCH (Bollerslev, 1986,1990; Bollerslev et al, 1988 ; Engle, 1982) ont été proposés.

Ces modèles emploient un modèle GARCH de type multivarié afin de capter l’évolution dynamique de la matrice de variance-covariance et de construire un estimé du ratio de couverture optimal utilisant les variances et covariances conditionnelles des rendements comptant et des futures. Il existe un grand nombre de spécification GARCH multivarié mais nous utiliserons, dans le reste de cette étude, celle de Engle (2002). Nous avons choisi ce modèle parce qu’il peut être, d’une part, estimé à partir d’une suite de modèles GARCH univariés et que d’autre part il reste relativement simple à implémenter pour le praticien ou le professionnel qui ne veut pas avoir à imposer de trop lourdes hypothèses de distributions comme dans le cas, par exemple, du modèle GARCH multivarié de Bollerslev (1990).

Un point faible de la plupart des modèles utilisés dans la littérature est que les ratios de couverture obtenus sont basés sur la forte hypothèse que les volatilités et les corrélations des changements dans les actifs sous-jacents et les prix à termes des monnaies restent constantes dans le temps. il existe une vaste littérature empirique qui montre que les volatilités et les corrélations entre les actifs et les contrats à terme varient dans le temps (Kroner/Sultan (1991), Longin/Solnik (1995), Sheedy (1998)). Ignorer de telles caractéristiques de la matrice de variance covariance tend à conduire à une mauvaise estimation des poids optimaux des actifs sous-jacents et du nombre de contrats à terme nécessaire pour couvrir une position.

Par conséquent, l’investisseur a une solution sous optimale pour construire son portefeuille (Gagnon et al, 1998). comment capter de façon optimale la structure dynamique de corrélation afin d’obtenir un mélange optimale d’actifs sous-jacents avec des niveaux de couverture approprié?

C’est afin de capter les structures dynamiques des seconds moments conditionnels des actifs sous jacents et des variations de prix à terme que les récentes études se sont concentrées sur le développement des ratios de couverture variant dans le temps en utilisant les techniques de modélisation de l’hétéroscédasticité conditionnelle. La spécification hétéroscédastique conditionnelle autorégressive ou ARCH, a été initiée par Engle (1982) pour caractériser la dynamique des seconds moments conditionnels que l’on retrouve dans la plupart des séries financières. Elle a été par la suite généralisée par Bollerslev (1986) avec ce qu’on a appelé l’hétéroscédastique conditionnelle autorégressive généralisée ou GARCH. Kroner et Sultan (1991) ont appliqué un modèle GARCH bivarié avec corrélation constante dans le but de couvrir l’exposition au risque de marché particulièrement le risque de change. Bauwens et al (2003) propose un résumé des modèles GARCH multivarié.

Tandis que la variance conditionnelle des différents actifs et les changements des prix à terme sont supposés changeantes dans le temps, les corrélations conditionnelles pour les marchés sont supposés constantes afin que la matrice de variance covariance soit définie positive. Cette approche de corrélation conditionnelle constante (CCC), qui a l’avantage d’être facile à implémenter, a été proposée par Bollerslev (1990). Malheureusement, la plupart des séries financières, contredisent cette hypothèse de corrélation constante comme le montrent Sheedy (1998) ou Tse et Tsui (2002). Pour capter les différentes caractéristiques de cette corrélation conditionnelle , Tong (1996), Gagnon (1998) ont adopté la procédure BEKK du modèle GARCH multivarié de Engle et Kroner(1995).

Cet algorithme BEKK permet la variation dans le temps de la covariance conditionnelle laquelle assure le caractère défini positif de la matrice de variance covariance conditionnelle. Cependant Sheedy (1998) trouve que la spécification BEKK n’est pas efficace pour enlever la structure dans les corrélations. Bera et al (1997) avaient auparavant trouvé que le modèle BEKK ne performait que passablement dans l’estimation des ratios optimaux de couverture. Un problème de convergence de cette procédure qui en limiterait les applications est aussi évoqué dans Lien et al (2001) et Lioui et al (2002). Tse et Tsui (2002) ont aussi proposé un modèle GARCH avec corrélation dynamique et matrice de variance covariance définie positive.

Cependant aucune tentative n’a été faite, comme le relève Engle et Sheppard (2001), pour permettre d’estimer séparément les processus GARCH univariés et l’estimateur de corrélation dynamique. De plus en permettant le retour à la corrélation inconditionnelle dans l’estimateur de corrélation, le nombre de paramètres nécessaire pour simultanément estimer les paramètres est de Ο(k 2 ), k étant le nombre de séries à l’étude, ce qui est seulement légèrement inférieur à la formulation BEKK typique. Engle (2002) propose une généralisation du modèle CCC de Bollerslev (1990).

Sa spécification permet d’obtenir une matrice de corrélation conditionnelle variant dans le temps tout en conservant une matrice de variance covariance définie positive et une simplicité d’implémentation. Les développements théoriques de cette nouvelle classe de modèle avec corrélation conditionnelle dynamique (CCD3), sont exposés dans Engle et Sheppard (2001).

De nombreuses applications du modèle DCC existent dans la littérature par exemple les travaux de Bautista (2003) sur la dynamique existante entre taux d’intérêts et taux de change aux Philippines, ceux de Wong et Vlaar (2003) sur les corrélations dynamiques dans les marchés financiers ou encore la variante asymétrique du DCC, Engle et Sheppard (2003) qui est appliqué à l’étude des corrélations dynamiques sur le marché global des actions et des obligations. Le modèle de Engle, comme beaucoup d’autres dans la littérature impose de la structure à la matrice de variance covariance conditionnelle afin de garantir son caractère défini positif et de réduire le nombre de paramètres. Toutefois, il y’a un danger à imposer des restrictions que les données peuvent violer. Ledoit et al (2003) a donc trouvé un moyen d’estimer un modèle GARCH multivarié à corrélation dynamique non contraint à l’aide d’une procédure en deux étapes.

Dénonçant comme Ledoit et al (2003) la possibilité que les données ne suivent pas la structure imposée à notre modèle, Hafner et al (2003) affirment que dans le cas du DCC de Engle et Sheppard (2001), et Engle (2002) ce modèle conduit à une sélection sous optimale des titres d’un portefeuille lorsque le nombre d’actifs en jeu est d’environ 20 et 30 alors qu’il est conçu pour des matrices de grandes dimensions.

Selon eux ceci est dû au fait que le modèle DCC suppose que les corrélations conditionnelles spécifiques aux actifs suivent toutes la même dynamique qui est une structure de type ARMA. Cette hypothèse peut être facilement satisfaite par un petit nombre de rendements d’actifs sélectionnés mais elle devient de plus en plus improbable quand le nombre de titres augmente. Ils proposent dans le cas de 18 rendements d’actifs allemands du DAX et 25 titres britanniques du FTSE une structure en panel qu’ils nomment DCC généralisé (GDCC).

Selon les auteurs, le GDCC améliore le DCC et ils encouragent la recherche sur les interprétations de l’hétérogénéité qu’il engendre. Une seconde critique a été faite par Billio et al (2003) qui pensent aussi que Engle ajoute au modèle CCC une spécification contraignante aux corrélations. Ils incorporent donc une structure bloc diagonal dans le modèle DCC qui permet d’avoir des corrélations identiques seulement dans le même groupe d’actifs.

Cette extension Bloc diagonal du modèle (BLOC-DCC) préservent l’aisance d’estimation obtenue depuis Bollerslev (1990) et permet aux corrélations de varier dans le temps. Elle se montre prometteuse dans la mesure où les estimés confirment bien la présence de seconds moments dynamiques qui montrent des différences entre les groupes. Pelletier (2004) propose une alternative au modèle de Engle (2002) en incorporant des changements de régimes dans les corrélations dynamiques et il conclut que ce nouveau modèle a de meilleurs performances statistiques que le DCC standard.

L’objectif de cette étude est de déduire pour un producteur américain de soja, et à l’aide du modèle DCC, le ratio couvertures optimal sur le marché à terme tenant compte de l’évolution du prix du baril de pétrole . À partir des résultats obtenus, une étude comparative sera entreprise en vue de juger la performance en matière de couverture dynamique du modèle DCC-MVGARCH vis-à-vis d’autres techniques de couverture qui tentent de prendre en compte la non normalité des rendements dont : l’expansion Cornish-fisher, la loi de Student, la semi-variance, la moyenne low partial moment, la distribution de Johnson, la théorie des valeurs extrêmes.

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